/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000039*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓Y␈↓ 	u␈εα959
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
1.
␈βαs␈↓ π7␈εα∩␈↓ λ,␈εα∩
␈βαw␈↓ ε
␈ε¬(␈↓ ε↔␈εn␈↓ ε(␈ε¬)
␈βα|␈↓ ↓l␈ε∞10.␈αCor␈α␈ollar␈α}y␈α␈.␈ε∂␈α→For␈αlarge␈↓ ¬≠␈ελn␈↓ ¬1␈ε∂,␈εα␈α[␈↓ ¬Q␈ελk␈↓ ¬o␈εα(␈↓ ¬{␈ελk␈↓ ε2␈εα:␈↓ εB␈ελk␈↓ ε`␈εα]␈↓ π␈εα=␈α
[␈↓ π8␈ελk␈↓ πV␈εα]␈↓ πu␈εα=␈α
[␈↓ λ-␈ελk␈↓ λL␈εα:␈↓ λ\␈ελk␈↓ λz␈εα]␈↓ 	∂␈ε∂.
␈ββ	␈↓ ¬a␈ε¬0␈↓ εR␈ε¬0␈↓ εj␈εi␈↓ πH␈ε¬0␈↓ π`␈εi␈↓ λ=␈ε¬0␈↓ λk␈ε¬0␈↓ 	∧␈εi
␈ββ.␈↓ 	␈εs
␈ββ6␈↓ ∧K␈εα∩␈↓ ¬↔␈ε
n␈↓ ¬x␈εα∩␈↓ π6␈ε
n␈↓ λ=␈εα∩␈↓ λn␈εα∩
␈ββ:␈↓ ¬λ␈εp␈↓ π'␈εp
␈ββ?␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof:␈εα␈α!For␈↓ βD␈ελn␈↓ βk␈ε⊗∃␈↓ ∧!␈ελr␈↓ ∧0␈εα,␈↓ ∧L␈ελk␈↓ ∧j␈εα(␈↓ ∧v␈ελk␈↓ ¬&␈εα)␈α∩=␈↓ ¬y␈ελk␈↓ ε"␈ε⊗λ␈↓ εk␈ελk␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελk␈↓ πE␈εα)␈α⊂since␈↓ λ>␈ελk␈↓ λ\␈εα/␈↓ λn␈ελk␈↓ 	∨␈εαis␈α⊂purely
␈ββG␈↓ εT␈ε
s
␈ββL␈↓ ∧\␈ε¬0␈↓ ε	␈ε¬0␈↓ εz␈ε¬0␈↓ λN␈ε¬0
␈ββM␈↓ εF␈ε¬∩
␈ββQ␈↓ 	␈ε¬0
␈ββT␈↓ εF␈εk
␈ββ`␈↓ εT␈επ0
␈ββl␈↓ ∧∪␈ε
n
␈ββo␈↓ ∧β␈εp
␈ββt␈↓ ↓H␈εαinseparable␈αand␈↓ βG␈ελk␈↓ βf␈εα(␈↓ βr␈ελk␈↓ ∧"␈εα)/␈↓ ∧@␈ελk␈↓ ∧i␈εαis␈αseparable␈α[␈ε∩3␈εα,␈αTheorem␈α21,␈αPart␈α(1),␈αp.␈α197].
␈β∧↓␈↓ βW␈ε¬0␈↓ ∧P␈ε¬0
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us
␈β∧]␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
2.
␈β¬n␈↓ ↓l␈εαgr␈↓ α∩␈ελT␈↓ α?␈εα=␈↓ αm␈ε⊗f␈↓ β¬␈εα(␈↓ β⊃␈ελx␈↓ β-␈εα,␈↓ β=␈ελx␈↓ βP␈εα*␈↓ β[␈εα)␈ε⊗␈α
j␈↓ ∧¬␈ελx␈↓ ∧+␈ε⊗2␈↓ ∧Q␈ελX␈↓ ∧o␈εα,␈↓ ∧␈␈ελx␈↓ ¬∩␈εα*␈↓ ¬(␈ε⊗2␈↓ ¬N␈ελX␈↓ ¬l␈εα*;␈↓ ε_␈ε⊗9␈εα␈αa␈αnet␈ε⊗␈α2␈↓ π:␈εαgr␈↓ πk␈ελT
␈β¬|␈↓ α'␈ε¬1␈↓ β"␈εi␈↓ ∧⊗␈εi
␈β¬␈␈↓ βP␈εi␈↓ ¬∩␈εi␈↓ πZ␈εi
␈βε$␈↓ βL␈ελx␈↓ βt␈εαbounded,␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬6␈ε⊗!␈↓ ¬d␈ελx␈↓ ¬w␈εα**␈αw␈α␈eak**␈αand␈↓ πl␈ελx␈↓ π␈␈εα*␈↓ λ∀␈ε⊗!␈↓ λB␈ελx␈↓ λU␈εα*␈αin␈αnorm␈↓ 	u␈ε⊗g
␈βε2␈↓ β\␈εi␈↓ ¬!␈εi
␈βε5␈↓ π␈␈εi
␈βεu␈↓ ↓H␈εα(or␈αsomething␈αlik␈α␈e␈αthat).
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
3.
␈βπt␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελP␈↓ αS␈εα,␈↓ αj␈ελP␈↓ β
␈εα,␈↓ β$␈ελQ␈↓ βJ␈εαare␈α
in␈α␈tegers␈αsuch␈α
that␈α(␈↓ ε9␈ελP␈↓ ε\␈εα,␈↓ εl␈ελP␈↓ π⊂␈εα,␈↓ π ␈ελQ␈↓ π:␈εα)␈α=␈α
1.␈α
Put␈↓ λm␈ελ∞␈↓ 		␈εα=␈↓ 	8␈ελ~␈↓ 	←␈ε⊗␈␈↓ 
␈ελ~
␈βλ↓␈↓ αE␈ε¬1␈↓ α␈␈ε¬2␈↓ εN␈ε¬1␈↓ π↓␈ε¬2␈↓ 	I␈ε¬2␈↓ 
≤␈ε¬1
␈βλ~␈↓ β]␈ε¬2␈↓ ∧=␈ε¬2␈↓ πE␈ε¬2␈↓ λM␈ε¬2
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εαand␈αde|ne␈α↓␈α
=␈↓ βL␈ελ∞␈↓ βu␈εα=␈↓ ∧#␈ελP␈↓ ∧S␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ ¬⊃␈ελP␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬X␈ελE␈↓ ¬{␈εα=␈α
(␈↓ ε5␈ελP␈↓ εa␈εα+␈αλ4␈↓ π∨␈ελQ␈↓ π9␈εα)␈↓ π[␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ λ→␈ελQ␈↓ λ3␈ελP␈↓ λ[␈εα,
␈βλ,␈↓ ¬&␈ε¬2␈↓ εJ␈ε¬2
␈βλ1␈↓ ∧8␈ε¬1␈↓ λH␈ε¬1
␈βλP␈↓ βp␈ε↓␈␈↓ ¬A␈ε↓␈␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓␈
␈βλf␈↓ βp␈ε↓␈␈↓ ¬A␈ε↓␈␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓␈
␈βλr␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ∧l␈εn␈↓ πv␈εn␈↓ λR␈εn
␈βλw␈↓ β|␈ελ␈↓ ∧*␈εα+␈↓ ∧V␈ελ␈␈↓ ¬"␈ελ~␈↓ π,␈εα1␈↓ πb␈ελ␈↓ λ⊂␈εα+␈↓ λ<␈ελ␈
␈βλz␈↓ βZ␈εα1␈↓ π
␈εα1
␈βλ|␈↓ βp␈ε↓␈␈↓ ¬A␈ε↓␈␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓␈
␈β	¬␈↓ ¬3␈ε¬1
␈β		␈↓ ∧⊂␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬1␈↓ λR␈ε¬1
␈β	⊂␈↓ αx␈ελV␈↓ β(␈εα=␈↓ ¬M␈εα,␈↓ ε%␈ελU␈↓ εX␈εα=␈↓ λp␈εα.
␈β	⊃␈↓ βp␈ε↓␈␈↓ ¬A␈ε↓␈␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓␈
␈β	≡␈↓ β␈εn␈↓ ε<␈εn
␈β	!␈↓ βZ␈∧	!βZα∩␈↓ π
␈∧	!π
α∩
␈β	'␈↓ βp␈ε↓␈␈↓ ¬A␈ε↓␈␈↓ π ␈ε↓␈␈↓ λd␈ε↓␈
␈β	(␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ∧l␈εn␈↓ πv␈εn␈↓ λR␈εn
␈β	)␈↓ βZ␈ελ∞␈↓ π␈ελ∞
␈β	-␈↓ β|␈ελ␈↓ ∧*␈εα+␈↓ ∧V␈ελ␈␈↓ ¬"␈ελ~␈↓ π,␈εα1␈↓ πb␈ελ␈↓ λ⊂␈εα+␈↓ λ<␈ελ␈
␈β	;␈↓ ¬3␈ε¬2
␈β	?␈↓ ∧⊂␈ε¬2␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ πv␈ε¬2␈↓ λR␈ε¬2
␈β	␈␈↓ ↓H␈εαThe␈α|rst␈αfew␈αvalues␈αfor␈αthese␈αfunctions␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αthe␈αtable␈αbelo␈α␈w.
␈β
T␈↓ α=␈ελn␈↓ β≠␈ελV␈↓ ε⎇␈ελU
␈β
b␈↓ β/␈εn␈↓ π∀␈εn
␈β∃␈↓ αA␈εα0␈↓ β≠␈εα2␈↓ ε⎇␈εα0
␈βK␈↓ αA␈εα1␈↓ β≠␈εα0␈↓ ε⎇␈εα1
␈β↓␈↓ αA␈εα2␈↓ β≠␈ε⊗␈␈↓ β?␈ελP␈↓ βj␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ∧(␈ελQ␈↓ ε⎇␈ελP
␈β∂␈↓ βT␈ε¬2␈↓ π∩␈ε¬1
␈β2␈↓ π⊗␈ε¬2
␈β7␈↓ αA␈εα3␈↓ β≠␈ε⊗␈␈↓ β?␈ελP␈↓ βb␈ελP␈↓ ε⎇␈ελP␈↓ π-␈ε⊗␈␈↓ πY␈ελP␈↓ λ∧␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ λB␈ελQ
␈βE␈↓ βT␈ε¬1␈↓ βw␈ε¬2␈↓ πn␈ε¬2
␈βI␈↓ π∩␈ε¬1
␈βh␈↓ β5␈ε¬2␈↓ ∧⊃␈ε¬2␈↓ ε&␈ε¬2␈↓ π⊗␈ε¬3
␈βm␈↓ αA␈εα4␈↓ β≠␈ελP␈↓ βK␈ε⊗␈␈↓ βw␈ελP␈↓ ∧∨␈ελP␈↓ ∧K␈εα+␈αλ4␈↓ ¬	␈ελP␈↓ ¬,␈ελQ␈↓ ¬N␈εα+␈αλ2␈↓ ε␈ελQ␈↓ ε⎇␈ελP␈↓ π-␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ πk␈ελP␈↓ λ∞␈ελP␈↓ λ:␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ λx␈ελP␈↓ 	≠␈ελQ
␈β{␈↓ ∧4␈ε¬2␈↓ ¬≡␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λ#␈ε¬2␈↓ 	
␈ε¬1
␈β␈␈↓ β0␈ε¬2␈↓ ∧␈ε¬1␈↓ π∩␈ε¬1
␈β
R␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
4.
␈β∞¬␈↓ βH␈ε↓8
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαand
␈β∞&␈↓ βH␈ε↓<
␈β∞2␈↓ ∧$␈ε¬2␈↓ ¬:␈ε¬2␈↓ ε7␈ε¬2
␈β∞7␈↓ β`␈ελQ␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελX␈↓ ∧F␈ε⊗␈␈↓ ∧r␈ελP␈↓ ¬⊗␈ελW␈↓ ¬O␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ ε!␈ελS␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελm␈↓ π5␈εαodd)
␈β∞D␈↓ ¬π␈ε¬2
␈β∞I␈↓ ∧$␈εm␈↓ ¬5␈εm
␈β∞P␈↓ αO␈ελX␈↓ β~␈ε⊗⊃␈↓ λ⊂␈εα(mod␈↓ λl␈ελN␈↓ 	∞␈εα),
␈β∞]␈↓ αh␈ε¬2␈↓ αv␈εm
␈β∞f␈↓ βH␈ε↓:
␈β∞h␈↓ βz␈ε¬2␈↓ ∧2␈ε¬2␈↓ ¬H␈ε¬2␈↓ εE␈ε¬2
␈β∞m␈↓ β`␈ελP␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ ∧∀␈ελX␈↓ ∧T␈ε⊗␈␈↓ ¬␈ελP␈↓ ¬$␈ελW␈↓ ¬]␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ ε/␈ελS␈↓ εw␈εα(␈↓ πβ␈ελm␈↓ π/␈εαev␈α␈en)
␈β∞z␈↓ ¬∃␈ε¬2
␈β∞␈␈↓ βu␈ε¬2␈↓ ∧2␈εm␈↓ ¬C␈εm
␈β∂≤␈↓ βH␈ε↓8
␈β∂=␈↓ βH␈ε↓<
␈β∂I␈↓ ¬␈␈ε¬2
␈β∂N␈↓ β`␈ελQ␈↓ βz␈εα(2␈↓ ∧_␈ελX␈↓ ∧K␈ελW␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬7␈ελP␈↓ ¬[␈ελW␈↓ ε∀␈εα)␈↓ εX␈εα(␈↓ εd␈ελm␈↓ π⊂␈εαodd)
␈β∂[␈↓ ∧1␈εm␈↓ ∧i␈εm␈↓ ¬L␈ε¬1
␈β∂`␈↓ ¬z␈εm
␈β∂g␈↓ αP␈ελw␈↓ β~␈ε⊗⊃␈↓ πj␈εα(mod␈↓ λF␈ελN␈↓ λh␈εα).
␈β∂u␈↓ αh␈ε¬2␈↓ αv␈εm
␈β∂}␈↓ βH␈ε↓:
␈β∂␈␈↓ βz␈ε¬2␈↓ ε␈ε¬2
␈β⊂∧␈↓ β`␈ελP␈↓ ∧λ␈εα(2␈↓ ∧&␈ελX␈↓ ∧Y␈ελW␈↓ ¬→␈εα+␈↓ ¬E␈ελP␈↓ ¬i␈ελW␈↓ ε"␈εα)␈↓ εR␈εα(␈↓ ε↑␈ελm␈↓ π	␈εαev␈α␈en)
␈β⊂⊃␈↓ ∧?␈εm␈↓ ∧w␈εm␈↓ ¬Z␈ε¬1
␈β⊂⊗␈↓ βu␈ε¬2␈↓ ελ␈εm
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα960
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
5.
␈βα{␈↓ ↓l␈ε∞1.2.␈αCor␈α␈ollar␈α}y␈α␈.␈ε∂␈α→The␈αcon⎇uen␈α␈t␈αimage␈αof
␈ββ(␈↓ β4␈ε↓8␈↓ ∧H␈ε↓9␈↓ ελ␈ε↓8␈↓ λ≤␈ε↓9
␈ββH␈↓ β4␈ε↓>␈↓ ∧H␈ε↓>␈↓ ελ␈ε↓>␈↓ λ≤␈ε↓>
␈ββS␈↓ β4␈ε↓>␈↓ ∧H␈ε↓>␈↓ ελ␈ε↓>␈↓ λ≤␈ε↓>
␈ββT␈↓ βR␈ε∂an␈αarc␈↓ ε&␈ε∂an␈αarc
␈ββ↑␈↓ β4␈ε↓<␈↓ ∧H␈ε↓=␈↓ ελ␈ε↓<␈↓ λ≤␈ε↓=
␈β∧λ␈↓ ¬(␈ε∂is␈↓ λ4␈εα.
␈β∧
␈↓ βR␈ε∂a␈αcircle␈↓ ε&␈ε∂an␈αarc␈αor␈αcircle
␈β∧∨␈↓ β4␈ε↓>␈↓ ∧H␈ε↓>␈↓ ελ␈ε↓>␈↓ λ≤␈ε↓>
␈β∧*␈↓ β4␈ε↓>␈↓ ∧H␈ε↓>␈↓ ελ␈ε↓>␈↓ λ≤␈ε↓>
␈β∧4␈↓ β4␈ε↓:␈↓ ∧H␈ε↓;␈↓ ελ␈ε↓:␈↓ λ≤␈ε↓;
␈β∧@␈↓ βR␈ε∂a␈αfan␈↓ ε&␈ε∂a␈αfan␈αon␈αan␈αarc
␈β¬:␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
6.
␈βε'␈↓ α`␈ε↓X␈↓ ¬[␈ε↓X
␈βεD␈↓ βg␈ε␈
␈↓ εc␈ε␈
␈βεJ␈↓ ↓l␈εαlim␈αεsup␈↓ β~␈ε⊗j␈↓ β$␈ελX␈↓ β]␈ε⊗j␈↓ ∧↓␈ε⊗∀␈↓ ∧/␈εαlim␈↓ ∧g␈εαlim␈αεsup␈↓ ε∃␈ε⊗j␈↓ ε∨␈ελX␈↓ εY␈ε⊗j␈↓ εy␈ελI␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελ∂␈↓ π?␈εα)
␈βεW␈↓ β=␈εn␈↓ βO␈εk␈↓ ε8␈εn␈↓ εJ␈εk␈↓ π∧␈εn␈↓ π⊗␈εk
␈βεk␈↓ ∧4␈ε∂␈↓ ∧@␈ε→#␈ε¬0
␈βεr␈↓ ↓⎇␈εn␈↓ α∂␈ε→!1␈↓ ∧y␈εn␈↓ ¬␈ε→!␈α␈1
␈βε{␈↓ αr␈εk␈↓ ¬n␈εk
␈βπ⊗␈↓ π,␈ε↓X
␈βπ~␈↓ λI␈ε↓␈␈↓ 	o␈ε↓↓
␈βπ3␈↓ λ3␈ε␈
␈βπ9␈↓ ¬T␈εα+␈↓ ε␈εαlim␈↓ ε8␈εαlim␈αεsup␈↓ πf␈ε⊗j␈↓ πp␈ελX␈↓ λ)␈ε⊗j␈↓ λW␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	≥␈ελI␈↓ 	I␈εα(␈↓ 	U␈ελ∂␈↓ 	c␈εα)␈↓ 	⎇␈εα,
␈βπG␈↓ λ	␈εn␈↓ λ~␈εk␈↓ 	(␈εn␈↓ 	:␈εk
␈βπ[␈↓ ε∧␈ε∂␈↓ ε⊂␈ε→#␈ε¬␈α↓0
␈βπb␈↓ εI␈εn␈↓ ε[␈ε→!␈α␈1
␈βπk␈↓ π>␈εk
␈βλK␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
7.
␈β	␈↓ ↓l␈ε⊗k␈↓ ↓}␈ελu␈↓ α∪␈ε⊗k␈α⊃∀␈α⊃k␈↓ α⎇␈ελu␈↓ β≥␈εα+␈↓ βL␈ελ∃␈↓ βa␈ελx␈↓ βt␈ε⊗k␈α
␈␈↓ ∧?␈ελ∞␈↓ ∧P␈εα,␈α⊃for␈α⊂some␈↓ εε␈ελ∞␈↓ ε(␈εα=␈↓ ε\␈ελ∞␈↓ εn␈εα(␈↓ εz␈ελx␈↓ π␈εα,␈↓ π≤␈ελ∂␈↓ π*␈εα)␈α⊃>␈α⊃0␈α⊂for␈α⊂each␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	V␈ε⊗2␈↓ 
β␈ελU␈↓ 
!␈εα,
␈β	7␈↓ ↓H␈ε⊗k␈↓ ↓Z␈ελu␈↓ ↓o␈ε⊗k␈εα␈α
=␈α
1,␈αand␈αeach␈↓ βy␈ελ∃␈↓ ∧∞␈εα,␈ε⊗␈α~j␈↓ ∧<␈ελ∃␈↓ ∧Q␈ε⊗j␈α
∃␈↓ ¬∪␈ελ∂␈↓ ¬!␈εα.
␈β	t␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
8.
␈β
5␈↓ ↓H␈εαTherefore
␈β
`␈↓ ∧7␈ε↓␈␈↓ ¬%␈ε↓↓
␈β
g␈↓ α_␈ε↓R
␈β
u␈↓ α0␈ε¬1
␈β
⎇␈↓ ¬∪␈ε¬1
␈β
}␈↓ αt␈ε→0␈ε¬2
␈β␈↓ ∧!␈ελn␈↓ ∧E␈ελn␈↓ ∧c␈εα+
␈ββ␈↓ αZ␈ελP␈↓ β
␈εα(␈↓ β⊗␈ελx␈↓ β)␈εα)␈↓ β;␈ελd␈↓ βO␈ελx
␈β¬␈↓ ¬s␈ελn␈↓ εE␈εα3␈↓ πM␈εα3
␈β⊂␈↓ ¬∪␈∧⊂¬∪α∂
␈β∪␈↓ ¬∪␈ε¬2
␈β∃␈↓ αo␈ε¬0
␈β⊗␈↓ α)␈ε→␈␈ε¬1
␈β≤␈↓ βo␈εα=␈↓ ¬A␈εα=␈↓ ε∃␈εα+␈↓ εc␈εα+␈↓ λ≥␈εα,␈↓ λu␈ελn␈↓ 	∀␈εα>␈α
1.
␈β#␈↓ α≤␈ε↓R
␈β,␈↓ α_␈∧,α_α↓J␈↓ ∧!␈∧,∧!α↓∩␈↓ ¬s␈∧,¬sα⊗␈↓ εE␈∧,εEα∩␈↓ π∪␈∧,π∪α↓ε
␈β2␈↓ α4␈ε¬1
␈β4␈↓ ∧(␈εα2(␈↓ ∧F␈ελn␈↓ ∧c␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ¬u␈εα2␈↓ εE␈εα4␈↓ π∪␈εα4(␈↓ π1␈ελn␈↓ πO␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)
␈β=␈↓ αx␈ε¬2
␈β?␈↓ α↑␈ελP␈↓ βε␈εα(␈↓ β∩␈ελx␈↓ β%␈εα)␈↓ β7␈ελd␈↓ βK␈ελx
␈βQ␈↓ αs␈ε¬0
␈βR␈↓ α-␈ε→␈␈ε¬1
␈β≤␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
9.
␈β
␈↓ β⎇␈ε→0
␈β
⊂␈↓ ↓p␈εαmax␈↓ βY␈ε⊗j␈↓ βc␈ελP␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧⊗␈ελx␈↓ ∧)␈εα)␈ε⊗j
␈β
∪␈↓ ∧␈␈ελn
␈β
≡␈↓ α4␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈ε→␈α↓∀␈↓ α|␈εx␈↓ β␈ε→∀␈ε¬+1
␈β
"␈↓ βx␈εn
␈β
*␈↓ ∧M␈ε⊗∃␈↓ ¬a␈ε∂if␈↓ εβ␈ελn␈↓ ε"␈εα=␈α
2␈ε∂,␈α3,
␈β
:␈↓ ↓p␈∧
:↓pααP␈↓ ∧␈␈∧
:∧␈α⊗
␈β
B␈↓ ↓p␈εαmax␈↓ βY␈ε⊗j␈↓ βc␈ελP␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧⊗␈ελx␈↓ ∧)␈εα)␈ε⊗j␈↓ ¬↓␈εα2
␈β
P␈↓ α4␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈ε→␈α↓∀␈↓ α|␈εx␈↓ β␈ε→∀␈ε¬+1␈↓ βx␈εn
␈β
r␈↓ ¬?␈ε¬(␈↓ ¬I␈εn␈↓ ¬Z␈ε→␈␈ε¬2␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β
{␈↓ βi␈ε↓∩␈↓ ¬)␈ε↓∪
␈β
}␈↓ β≠␈ελn␈↓ ∧n␈εα1
␈β∞∃␈↓ α4␈ε⊗∃␈↓ β␈␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε,␈εα,␈↓ π∧␈ελn␈↓ π&␈ε∂ev␈α␈en,␈↓ λ⊂␈ελn␈↓ λ0␈ε⊗∃␈εα␈α
4␈ε∂,
␈β∞%␈↓ αf␈∧∞%αfα↓␈↓ ∧I␈∧∞%∧Iα\
␈β∞.␈↓ ∧I␈ελn␈↓ ∧g␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β∞7␈↓ β
␈∧∞7β
α\
␈β∞8␈↓ αf␈ε⊗p
␈β∞=␈↓ β
␈ελn␈↓ β'␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β∞g␈↓ εY␈ε¬(␈↓ εb␈εn␈↓ εt␈ε→␈␈ε¬3)/2␈↓ 	A␈ε¬(␈↓ 	K␈εn␈↓ 	]␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β∞o␈↓ ∧]␈ε↓ ␈↓ εB␈ε↓!␈↓ πF␈ε↓ ␈↓ 	*␈ε↓!
␈β∞x␈↓ βc␈ε¬2
␈β∞{␈↓ ¬b␈∧∞{¬bα\
␈β∞|␈↓ ¬>␈ε⊗p
␈β∞⎇␈↓ βM␈ελn␈↓ ¬b␈ελn␈↓ ε␈εα+␈αλ1␈↓ λ↑␈εα1
␈β∂∀␈↓ α4␈ε⊗∃␈↓ ∧t␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π]␈εα1␈αλ+␈↓ 
/␈εα,
␈β∂$␈↓ αf␈∧∂$αfα↓t␈↓ ¬>␈∧∂$¬>α↓␈↓ λ'␈∧∂$λ'α↓
␈β∂-␈↓ ¬P␈ελn␈↓ ¬n␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β∂6␈↓ β⎇␈∧∂6β⎇α\␈↓ λK␈∧∂6λKα\
␈β∂7␈↓ βY␈ε⊗p␈↓ λ'␈ε⊗p
␈β∂9␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελn␈↓ β∂␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ β⎇␈ελn␈↓ ∧≠␈εα+␈αλ1␈↓ λK␈ελn␈↓ λh␈εα+␈αλ1
␈β∂L␈↓ πo␈ε∂if␈↓ λ⊃␈ελn␈↓ λ1␈ε⊗∃␈εα␈α
5␈ε∂␈αand␈αodd.
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ 	u␈εα961
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
10␈α␈.
␈βαk␈↓ β⎇␈ε↓0␈↓ ∧8␈ε↓1␈↓ π&␈ε↓0␈↓ πe␈ε↓1
␈βαv␈↓ ¬∧␈ε↓0␈↓ ¬z␈ε↓1
␈ββ~␈↓ ∧↔␈ελx␈↓ πD␈ελc
␈ββ(␈↓ ∧(␈ε¬1␈↓ πQ␈ε¬1
␈ββ,␈↓ β⎇␈ε↓B␈↓ ∧8␈ε↓C␈↓ π&␈ε↓B␈↓ πe␈ε↓C
␈ββ5␈↓ ¬≤␈ελb
␈ββ7␈↓ ¬∧␈ε↓B␈↓ ¬z␈ε↓C
␈ββB␈↓ β⎇␈ε↓B␈↓ ∧8␈ε↓C␈↓ π&␈ε↓B␈↓ πe␈ε↓C
␈ββC␈↓ ¬)␈ε¬1
␈ββD␈↓ ∧"␈εα.␈↓ πL␈εα.
␈ββM␈↓ ¬∧␈ε↓B␈↓ ¬z␈ε↓C
␈ββR␈↓ ∧"␈εα.␈↓ πL␈εα.
␈ββW␈↓ βf␈ελa␈↓ β⎇␈ε↓B␈↓ ∧8␈ε↓C␈↓ ∧X␈εα+␈↓ ε_␈ελx␈↓ εx␈εα=␈↓ π&␈ε↓B␈↓ πe␈ε↓C␈↓ λβ␈εα,
␈ββ←␈↓ ¬%␈εα.
␈ββa␈↓ ∧"␈εα.␈↓ πL␈εα.
␈ββb␈↓ ¬∧␈ε↓@␈↓ ¬z␈ε↓A
␈ββd␈↓ ε)␈εm␈↓ εC␈ε¬+1
␈ββm␈↓ β⎇␈ε↓@␈↓ ∧8␈ε↓A␈↓ ¬%␈εα.␈↓ π&␈ε↓@␈↓ πe␈ε↓A
␈ββ|␈↓ ¬%␈εα.
␈β∧∞␈↓ ¬[␈ελb
␈β∧↔␈↓ ∧∃␈ελx␈↓ π>␈ελc
␈β∧≤␈↓ ¬h␈εn
␈β∧$␈↓ ∧&␈εn␈↓ πK␈εm
␈β∧t␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
11␈α␈.
␈β¬W␈↓ ¬6␈ε
n␈↓ εl␈ε
n␈↓ πx␈ε≠␈␈↓ λ∂␈ε
n
␈β¬Z␈↓ β∩␈ε¬(␈α␈1␈α↓)␈↓ ¬'␈εp␈↓ ε1␈ε¬1␈α↓+␈↓ ε\␈εp␈↓ πi␈εp␈↓ λ<␈εp
␈β¬`␈↓ αV␈ελk␈↓ αt␈εα(␈↓ β␈ελk␈↓ β3␈εα)␈α
=␈↓ βw␈ε⊗f␈↓ ∧∂␈ελu␈↓ ∧/␈ε⊗2␈↓ ∧U␈ελK␈↓ ∧⎇␈ε⊗j␈↓ ¬⊃␈ελu␈↓ ¬O␈ε⊗2␈↓ ¬u␈ελk␈↓ ε∪␈εα(␈↓ ε∨␈ελk␈↓ ε{␈εα)␈↓ π
␈ε⊗g␈↓ π)␈εα=␈↓ πW␈ελk␈↓ λ≡␈εα(␈↓ λ*␈ελk␈↓ λK␈εα)␈ε⊗␈αλ\␈↓ 	↓␈ελk␈↓ 	∪␈εα.
␈β¬n␈↓ αf␈ε¬0␈↓ ε¬␈ε¬0
␈β¬r␈↓ πi␈ε¬0
␈βε≤␈↓ βD␈εt␈↓ βO␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓,␈↓ ∧α␈εq
␈βε"␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α
␈ελV␈↓ αB␈εα=␈ε⊗␈α
f␈↓ βα␈ελv␈↓ β2␈ε⊗g␈↓ ∧S␈εαand␈αde|ne␈↓ ε↓␈ελX␈↓ ε4␈εα,␈↓ εJ␈ελY␈↓ εy␈εα,␈↓ π∂␈ελZ␈↓ πG␈εαsimilarly.
␈βε%␈↓ ∧
␈ε
i
␈βε/␈↓ α≡␈εm␈↓ β⊃␈εi␈↓ β≥␈ε¬,␈↓ β%␈εj␈↓ ε~␈εm␈↓ ε←␈εm␈↓ π"␈εm
␈βε4␈↓ βD␈εi␈↓ βP␈ε¬=␈↓ βl␈εm␈↓ ∧ε␈ε¬,␈↓ ∧∞␈εj␈↓ ∧≠␈ε¬=1
␈βε]␈↓ βw␈ε≠␈␈↓ ∧
␈ε
n␈↓ π∀␈ε≠␈␈↓ π+␈ε
n
␈βε`␈↓ βh␈εp␈↓ ∧;␈εp␈↓ ε⊃␈εp␈↓ π¬␈εp
␈βεe␈↓ ↓l␈ε∞Cont␈α␈ention.␈↓ βV␈ελk␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ∧)␈ελk␈↓ ∧J␈εα)␈ε⊗␈α
~␈↓ ¬∞␈ελk␈↓ ¬)␈εα=␈↓ ¬W␈ελk␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελs␈↓ ε ␈εα)(␈↓ ε8␈ελV␈↓ εZ␈εα,␈↓ εj␈ελw␈↓ π:␈εα)␈ε∂.
␈βεs␈↓ ¬g␈ε¬0␈↓ εL␈ε¬1
␈βεx␈↓ βh␈ε¬0
␈βπ#␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof:␈εα␈α→The␈αclaim␈αis␈αthat
␈βπa␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
12␈α␈.
␈βλ8␈↓ β⊃␈ε≡Ab␈α↓st␈α␈ra␈α␈ct␈ε∧.␈α⊂Let␈↓ ¬α␈ε
k␈↓ ¬→␈ε_≠␈↓ ¬@␈ε
s␈↓ ¬U␈ε_≠␈↓ ¬|␈ε
k␈↓ ε≡␈ε∧be␈αε|el␈α␈ds␈απo␈α↓f␈απc␈α␈ha␈α↓rac␈α␈teri␈α␈stic
␈βλA␈↓ ε
␈εε0
␈βλ\␈↓ β⊃␈ε
p␈↓ β+␈ε_≤␈ε∧␈α0,␈↓ ∧	␈ε
k␈↓ ∧_␈ε∧/␈↓ ∧'␈ε
k␈↓ ∧L␈ε∧|nite␈α␈ly␈αge␈α␈nerated␈αa␈α↓nd␈↓ ε␈␈ε
s␈↓ π↔␈ε∧a␈αdist␈α␈inguishe␈α␈d
␈βλe␈↓ ∧4␈εε0
␈βλ{␈↓ π3␈ε
t␈↓ λ(␈ε
n␈↓ λ7␈επ+␈↓ λN␈ε
t
␈βλ␈␈↓ ¬A␈εε(␈↓ ¬I␈εn␈↓ ¬Y␈εε)␈↓ π%␈εp␈↓ λ~␈εp
␈β	∧␈↓ β⊃␈ε∧sub|el␈α␈d.␈αThe␈α|e␈α␈ld␈↓ ¬
␈ε
k␈↓ ¬'␈ε∧(␈↓ ¬2␈ε
k␈↓ ¬b␈ε∧)␈α	=␈↓ ε≥␈ε_f␈↓ ε1␈ε
x␈↓ εK␈ε_2␈↓ εl␈ε
k␈↓ π∧␈ε_j␈↓ π⊗␈ε
x␈↓ πF␈ε_2␈↓ πg␈ε
k␈↓ λ↓␈ε∧(␈↓ λ␈ε
k␈↓ λW␈ε∧)
␈β	∞␈↓ ¬≠␈εε0␈↓ πt␈εε0
␈β	∨␈↓ ¬e␈ε
n
␈β	#␈↓ ¬W␈εp
␈β	(␈↓ β⊃␈ε∧fo␈α↓r␈αλso␈α↓m␈α␈e␈↓ ∧
␈ε
t␈↓ ∧≡␈ε_∃␈ε∧␈αλ0␈↓ ∧Y␈ε_g␈↓ ∧q␈ε∧ha␈α↓s␈↓ ¬&␈ε
k␈↓ ¬@␈ε∧(␈↓ ¬K␈ε
s␈↓ ¬t␈ε∧)␈α	a␈α↓s␈αλa␈α	disti␈α␈nguishe␈α␈d␈α	sub|el␈α␈d
␈β	2␈↓ ¬4␈εε0
␈β	L␈↓ β⊃␈ε∧a␈α↓nd␈α
i␈α␈s
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
13␈α␈.
␈β
W␈↓ ↓l␈ε∞Pr␈α␈oof:␈εα␈α≡Consider␈α∂a␈α∂minimal␈α∞normal␈α∂subgroup␈↓ π←␈ελN␈↓ λ∂␈ε⊗∩␈εα␈α∂λ(␈↓ λh␈ελG␈↓ 	β␈εα)␈ε⊗␈α∂≤␈εα␈α∞1␈α∂and
␈βα␈↓ ↓H␈εαthe␈α∩factor␈α∪group␈↓ βg␈ελG␈↓ ∧α␈εα/␈↓ ∧∀␈ελN␈↓ ∧6␈εα.␈α Then␈↓ ¬D␈ε⊗f␈↓ ¬\␈ελN␈↓ ¬}␈ελL␈↓ ε"␈εα/␈↓ ε4␈ελN␈↓ εk␈ε⊗j␈↓ π	␈ελj␈↓ π/␈εα=␈α∃1,␈↓ λ
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ:␈εα,␈↓ λJ␈ελn␈↓ λe␈ε⊗g␈↓ 	
␈εαis␈α∩a␈α∪lo␈α␈w␈α␈er
␈β∂␈↓ ε∃␈εj
␈β-␈↓ ↓H␈εαnilpoten␈α␈t␈α
series␈α∞for␈↓ β}␈ελG␈↓ ∧'␈εα/␈↓ ∧9␈ελN␈↓ ∧[␈εα,␈↓ ¬↓␈ελN␈↓ ¬#␈ε∩N␈↓ ¬a␈εα(␈↓ ¬m␈ε⊗S␈↓ εd␈εα)/␈↓ πα␈ελN␈↓ π1␈εαis␈α∞a␈α
relativ␈α␈e␈α∞s-stem␈α∞nor-
␈β;␈↓ ∧⊗␈ε→F␈↓ ¬?␈εG␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ ε∂␈ε→␈␈↓ ε+␈εj␈↓ ε9␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βC␈↓ ¬S␈ε≠F
␈βX␈↓ ↓H␈εαmalizer␈αfor␈↓ α⎇␈ελN␈↓ β∨␈ελL␈↓ ∧≥␈εα/␈↓ ∧/␈ελN␈↓ ∧\␈εαwith␈αrespect␈αto␈αthe␈αSylo␈α␈w␈αsystem␈↓ λr␈ε⊗S␈↓ 	ε␈εα*␈αof␈↓ 	N␈ελG␈↓ 	w␈εα/␈↓ 
	␈ελN
␈βf␈↓ β6␈εn␈↓ βH␈ε→␈␈↓ βe␈εj␈↓ βr␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	f␈ε→F
␈β∧␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈α⊃which␈↓ ββ␈ε⊗S␈↓ β)␈εαreduces,␈α∪and␈α⊃the␈α∩prefrattini␈α⊃series␈α⊃for␈α∩(␈↓ λ+␈ελG␈↓ λF␈εα/␈↓ λX␈ελN␈↓ λz␈εα)␈↓ 	)␈εαis␈↓ 	R␈ελN␈↓ 
π␈ε⊗∩
␈β⊃␈↓ 	ε␈ε→F
␈β&␈↓ α\␈εα∩␈↓ ∧o␈εα∩␈↓ λ∪␈εα∩
␈β/␈↓ ↓H␈ε⊗F␈↓ ↓l␈εα/␈↓ ↓}␈ελN␈↓ α*␈εα=␈↓ αX␈εαλ␈↓ β	␈ε⊗~␈↓ β8␈ελN␈↓ βY␈ελL␈↓ βq␈εα*␈↓ ∧␈εα/␈↓ ∧∩␈ελN␈↓ ∧>␈εα=␈↓ ∧l␈ελL␈↓ ¬∧␈εα*␈↓ ¬≤␈ε⊗∩␈↓ ¬J␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬␈␈ε⊗~␈↓ ε-␈ελN␈↓ εN␈ελL␈↓ εf␈εα*␈↓ π$␈εα/␈↓ π6␈ελN␈↓ πa␈εα=␈↓ λ⊂␈ελL␈↓ λ(␈εα*␈↓ λo␈ε⊗~␈↓ 	≥␈εαλ␈↓ 	I␈εα/␈↓ 	[␈ελN␈↓ 
π␈εα=
␈β<␈↓ ↓↑␈ε¬1␈↓ αr␈εj␈↓ 	7␈εn
␈β@␈↓ βq␈ε¬1␈↓ ¬∧␈ε¬1␈↓ εf␈εn␈↓ εx␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ(␈εn␈↓ λ:␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βZ␈↓ ↓H␈ελG␈↓ ↓q␈εα/␈↓ αβ␈ελN␈↓ α%␈εα.␈α≡The␈α⊃result␈α∩is␈α∩valid␈α∩whenev␈α␈er␈↓ ε5␈ελG␈↓ εp␈εαis␈α∩nilpoten␈α␈t.␈α≡By␈α∩induction,
␈βg␈↓ ↓`␈ε→F␈↓ εM␈ε→F
␈βn␈↓ ↓H␈ε↓T
␈β
␈↓ ↓f␈εn␈↓ ↓x␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β
↓␈↓ α-␈εα∩
␈β
␈↓ α)␈εαλ␈↓ αP␈εα(␈↓ α\␈ελN␈↓ α}␈ε∩N␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ε⊗S␈↓ ∧?␈εα)/␈↓ ∧]␈ελN␈↓ ¬π␈εαis␈α	a␈αλprefrattini␈α	subgroup␈↓ λε␈ελW␈↓ λ*␈εα/␈↓ λ<␈ελN␈↓ λf␈εαof␈↓ 	
␈ελG␈↓ 	(␈εα/␈↓ 	:␈ελN␈↓ 	e␈εαwith
␈β
↔␈↓ αC␈εj␈↓ β~␈εG␈↓ βW␈εn␈↓ βi␈ε→␈␈↓ ∧ε␈εj␈↓ ∧∪␈ε→␈␈ε¬1
␈β
≤␈↓ ↓f␈εj␈↓ ↓s␈ε¬=1
␈β
 ␈↓ β.␈ε≠F
␈β
5␈↓ ↓H␈εαrespect␈αto␈αthe␈αSylo␈α␈w␈αsystem␈↓ ¬
␈ε⊗S␈↓ ¬!␈ελN␈↓ ¬B␈εα/␈↓ ¬T␈ελN␈↓ εα␈εα(see␈α[7]).␈αSince
␈β∞¬␈↓ β	␈εn␈↓ β≠␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞π␈↓ β∀␈ε↓\
␈β∞
␈↓ ∧2␈ε↓␈␈↓ εb␈ε↓↓
␈β∞*␈↓ ↓z␈ελW␈↓ α≡␈εα/␈↓ α0␈ελN␈↓ α[␈εα=␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελ≡␈↓ βr␈εα/␈↓ ∧∧␈ελN␈↓ ∧&␈εα)␈↓ ∧@␈ελN␈↓ ∧b␈ε∩N␈↓ ¬ ␈εα(␈↓ ¬,␈ε⊗S␈↓ ε#␈εα)/␈↓ εA␈ελN
␈β∞7␈↓ βe␈εj␈↓ ∧}␈εG␈↓ ¬<␈εn␈↓ ¬M␈ε→␈␈↓ ¬j␈εj␈↓ ¬w␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞@␈↓ ¬∩␈ε≠F
␈β∞[␈↓ β␈εj␈↓ β→␈ε¬=1
␈β∂(␈↓ β	␈εn␈↓ β≠␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εX␈εn␈↓ εj␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂*␈↓ β∀␈ε↓\␈↓ εc␈ε↓\
␈β∂-␈↓ βF␈ε↓␈␈↓ ¬|␈ε↓↓␈↓ π∃␈ε↓␈␈↓ 	↔␈ε↓↓
␈β∂3␈↓ εB␈ε↓∩␈↓ 	Y␈ε↓∪
␈β∂M␈↓ α[␈εα=␈↓ βT␈εαλ␈↓ β{␈ε∩N␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ε⊗S␈↓ ¬<␈εα)/␈↓ ¬Z␈ελN␈↓ ε∀␈εα=␈↓ π#␈εαλ␈↓ πJ␈ε∩N␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ε⊗S␈↓ 	␈εα)␈↓ 	%␈εα/␈↓ 	7␈ελN␈↓ 	o␈εα,
␈β∂Z␈↓ βn␈εj␈↓ ∧↔␈εG␈↓ ∧U␈εn␈↓ ∧g␈ε→␈␈↓ ¬∧␈εj␈↓ ¬⊃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π=␈εj␈↓ πf␈εG␈↓ λ$␈εn␈↓ λ6␈ε→␈␈↓ λS␈εj␈↓ λ`␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂c␈↓ ∧+␈ε≠F␈↓ πz␈ε≠F
␈β∂}␈↓ β␈εj␈↓ β→␈ε¬=1␈↓ εZ␈εj␈↓ εh␈ε¬=␈α␈1
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα962
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
14␈α␈.
␈ββ∩␈↓ βl␈εαPerm␈α␈utations␈↓ ¬u␈εαOne␈αpeak␈↓ πT␈εαZero␈αpeak
␈ββH␈↓ ¬a␈εα(underlined)␈↓ πC␈εα(underlined)
␈ββ}␈↓ ∧9␈εα123␈↓ ε%␈εα123␈↓ λπ␈εα123
␈β∧≠␈↓ λπ␈∧∧≠λπα6
␈β∧4␈↓ ∧9␈εα132␈↓ ε%␈εα123␈↓ λπ␈εα132
␈β∧Q␈↓ ε%␈∧∧Qε%α6
␈β∧j␈↓ ∧9␈εα231␈↓ ε%␈εα231␈↓ λπ␈εα231
␈β¬π␈↓ ε%␈∧¬πε%α6
␈β¬ ␈↓ ∧9␈εα213␈↓ ε%␈εα213␈↓ λπ␈εα231
␈β¬=␈↓ λπ␈∧¬=λπα6
␈β¬V␈↓ ∧9␈εα312␈↓ ε%␈εα312␈↓ λπ␈εα312
␈β¬s␈↓ λπ␈∧¬sλπα6
␈βε␈↓ ∧9␈εα321␈↓ ε%␈εα321␈↓ λπ␈εα321
␈βε)␈↓ λπ␈∧ε)λπα6
␈βεM␈↓ αr␈εαTotal␈↓ ∧∨␈εα6␈α
=␈↓ ∧i␈ελn␈↓ ∧␈␈εα!␈↓ ε	␈εα2␈α
=␈↓ εS␈ελP␈↓ πk␈εα4␈α
=␈↓ λ5␈ελP
␈βεZ␈↓ εh␈ε¬2␈↓ λJ␈ε¬1
␈βπ∪␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
15␈α␈.
␈βπi␈↓ ¬(␈ε↓0␈↓ π<␈ε↓1
␈βλ$␈↓ β+␈ε→1␈↓ ¬@␈εn␈↓ ¬\␈ε¬/2␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ&␈↓ β∨␈ε↓X␈↓ ¬X␈ε↓X
␈βλ*␈↓ ¬(␈ε↓B␈↓ π<␈ε↓C
␈βλ-␈↓ ¬Q␈ε
e
␈βλ.␈↓ πx␈εn
␈βλ3␈↓ πb␈ελu
␈βλ6␈↓ λ	␈ε
e
␈βλ?␈↓ ¬(␈ε↓B␈↓ π<␈ε↓C
␈βλC␈↓ ∧e␈εn␈↓ ¬↓␈ε¬/2␈↓ π∀␈ε¬2␈↓ π#␈εh
␈βλI␈↓ ↓g␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ ∧↔␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ∧Y␈εα)␈↓ ε*␈ελb␈↓ πβ␈ελk␈↓ λ_␈εα,␈↓ λp␈ελh␈↓ 	→␈εα=␈↓ 	G␈ελn␈↓ 	g␈εα/2
␈βλL␈↓ ∧v␈ε
e␈↓ π1␈επ1
␈βλU␈↓ ¬(␈ε↓@␈↓ π<␈ε↓A
␈βλW␈↓ ε7␈εh␈↓ εP␈εh␈↓ εi␈εh␈↓ 	↓␈ε¬3␈↓ 	\␈εe
␈βλZ␈↓ πb␈∧λZπbα2
␈βλ←␈↓ εE␈επ1␈↓ ε↑␈επ2␈↓ εw␈επ3
␈βλb␈↓ πf␈ελn␈↓ λε␈εα!
␈βλo␈↓ πz␈εe
␈βλ{␈↓ α[␈εn␈↓ αw␈ε¬=2;(␈↓ β4␈εn␈↓ βU␈ε¬e␈α␈ve␈α␈n␈↓ ∧
␈ε¬)␈↓ ¬O␈εh␈↓ ¬i␈ε¬=␈α␈0
␈β	β␈↓ αm␈ε
e␈↓ βE␈ε
e␈↓ ¬]␈επ1
␈β	Q␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
16␈α␈.
␈β
'␈↓ α1␈ε↓2␈↓ T␈ε↓3
␈β
N␈↓ αj␈εN␈↓ ¬t␈εN
␈β
S␈↓ αV␈ελ␈↓ β␈εα+␈↓ β8␈ελ␈
␈↓ βX␈ελh␈↓ ¬<␈ε⊗␈␈↓ ¬`␈ελ
␈β
a␈↓ βI␈ε¬0
␈β
e␈↓ αj␈ε¬0␈↓ ¬t␈ε¬0
␈β
h␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈β
⎇␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈β∧␈↓ βR␈εN␈↓ ¬
␈εN␈↓ ¬m␈εN␈↓ εm␈εN␈↓ π~␈ε¬2␈↓ 
↓␈εN
␈β	␈↓ αI␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β;␈ελ␈␈↓ βl␈ελh␈↓ ∧"␈εα2␈αλ+␈αλ(␈↓ ∧t␈ελ␈␈↓ ¬-␈εα+␈↓ ¬Y␈ελ␈↓ ελ␈εα)␈↓ ε∀␈ελh␈↓ ε-␈εα+␈↓ εY␈ελ␈
␈↓ πλ␈ελh␈↓ λ{␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	m␈ελ␈↓ 
≤␈ελh
␈β∪␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈β≠␈↓ βR␈ε¬1␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ ¬m␈ε¬1␈↓ εm␈ε¬1␈↓ 
↓␈ε¬1
␈β)␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈β1␈↓ β␈ε⊗↓␈↓ ¬P␈ε⊗↓␈↓ 	;␈ε⊗↓
␈β=␈↓ ↓H␈ελA␈↓ αβ␈εα=␈↓ d␈εα.
␈β>␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈β?␈↓ β≠␈ε⊗↓␈↓ ¬`␈ε⊗↓␈↓ 	K␈ε⊗↓
␈βK␈↓ ↓←␈εN
␈βN␈↓ β+␈ε⊗↓␈↓ ¬p␈ε⊗↓␈↓ 	[␈ε⊗↓
␈βT␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈βi␈↓ α1␈ε↓6␈↓ T␈ε↓7
␈βp␈↓ εα␈εN␈↓ λ5␈εN␈↓ 	B␈εN␈↓ 
n␈εN␈↓ F␈ε¬2
␈βu␈↓ ∧y␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬k␈ελ␈␈↓ εG␈ελh␈↓ πL␈εα2␈αλ+␈αλ(␈↓ λ≡␈ελ␈␈↓ 	β␈εα+␈↓ 	/␈ελ␈↓ 
λ␈εα)␈↓ 
∀␈ελh␈↓ 
.␈εα+␈↓ 
Z␈ελ␈
␈↓ 4␈ελh
␈β␈␈↓ α1␈ε↓4␈↓ T␈ε↓5
␈βπ␈↓ εα␈εN␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ5␈εN␈↓ λO␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	B␈εN␈↓ 	]␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
n␈εN␈↓ 	␈ε→␈␈ε¬1
␈β&␈↓ ¬u␈εN␈↓ 	∩␈εN
␈β+␈↓ ¬;␈ε⊗␈␈↓ ¬←␈ελ␈␈↓ λ|␈ελ␈␈↓ 	5␈εα+␈↓ 	a␈ελ␈
␈↓ 
∪␈ελh
␈β9␈↓ 	r␈εN
␈β=␈↓ ¬u␈εN␈↓ 	∩␈εN
␈β{␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
17␈α␈.
␈β
<␈↓ ¬8␈ε∞Table␈α1
␈β
|␈↓ β&␈ε∂In␈α␈terpolation␈αForm␈α␈ulas␈αfor␈εα␈α(␈↓ ε`␈ελx␈↓ ε␈␈εα,␈↓ π∂␈ελt␈↓ π(␈εα)␈α
=␈α
(.2,␈αε.4)
␈β∞
␈↓ εq␈ε→β␈↓ π~␈ε→β
␈β∞8␈↓ α∪␈ελN␈↓ β?␈ελA␈↓ ε
␈ελx␈↓ λ]␈ελt
␈β∞E␈↓ βV␈εi␈↓ ε≥␈εi␈↓ λg␈εi
␈β∞n␈↓ α≠␈εα2␈↓ β␈εα.4588␈αλ3147␈↓ ∧␈␈ε⊗␈␈↓ ¬#␈εα.7435␈αλ5958␈↓ π↑␈εα0␈↓ πp␈εα.0
␈β∂→␈↓ β␈εα.5411␈αλ6853␈↓ ¬⊃␈εα1␈↓ ¬#␈εα.0␈↓ πp␈εα.4171␈αλ7446(␈ε⊗␈␈εα1)
␈β∂D␈↓ α≠␈εα3␈↓ β␈εα.2281␈αλ3315␈↓ ∧m␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬#␈εα.0␈↓ πp␈εα.1148␈αλ8151
␈β∂o␈↓ β␈εα.3726␈αλ6462␈↓ ¬#␈εα.7763␈αλ2581(␈ε⊗␈␈εα1)␈↓ π↑␈εα0␈↓ πp␈εα.0
␈β⊂~␈↓ α≠␈εα4␈↓ β␈εα.3992␈αλ0223␈↓ ¬⊃␈εα1␈↓ ¬#␈εα.0␈↓ πp␈εα.1978␈αλ9729
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ 	u␈εα963
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
18␈α␈.
␈βαi␈↓ ¬8␈ε∞Table␈α2
␈ββ*␈↓ α≤␈ε∂Appro␈α␈ximate␈αSolution␈αof␈αan␈αInitial-Boundary␈αValue␈αProblem
␈ββe␈↓ ↓@␈εα(␈↓ ↓L␈ελx␈↓ ↓k␈εα,␈↓ ↓{␈ελt␈↓ α∀␈εα):␈↓ β6␈εα(.1,␈αε.1)␈↓ ∧b␈εα(.2,␈αε.1)␈↓ ε∞␈εα(.3,␈αε.1)␈↓ π:␈εα(.1,␈αε.2)␈↓ λf␈εα(.2,␈αε.2)␈↓ 
∩␈εα(.3,␈αε.2)
␈ββr␈↓ ↓]␈ε→β␈↓ αε␈ε→β
␈β∧≠␈↓ }␈εαExact␈αsolution:␈↓ β4␈εα7.7172␈↓ ∧`␈εα7.4310␈↓ ε␈εα6.9610␈↓ π8␈εα6.0298␈↓ λd␈εα5.8062␈↓ 
⊂␈εα5.4396
␈β∧F␈↓ ↓d␈ελN
␈β∧q␈↓ ↓l␈εα2␈↓ β4␈εα7.5884␈↓ ∧`␈εα7.2589␈↓ ε␈εα6.8005␈↓ π8␈εα5.3908␈↓ λd␈εα5.1908␈↓ 
⊂␈εα4.8631
␈β¬≤␈↓ ↓l␈εα3␈↓ β4␈εα7.7261␈↓ ∧`␈εα7.4395␈↓ ε␈εα6.9691␈↓ π8␈εα6.0806␈↓ λd␈εα5.8527␈↓ 
⊂␈εα5.4799
␈β¬H␈↓ ↓l␈εα4␈↓ β4␈εα7.7171␈↓ ∧`␈εα7.4308␈↓ ε␈εα6.9616␈↓ π8␈εα6.0276␈↓ λd␈εα5.8040␈↓ 
⊂␈εα5.4376
␈β¬s␈↓ ↓l␈εα5␈↓ β4␈εα7.7172␈↓ ∧`␈εα7.4310␈↓ ε␈εα6.9618␈↓ π8␈εα6.0299␈↓ λd␈εα5.8063␈↓ 
⊂␈εα5.4397
␈βε'␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
19␈α␈.
␈βεy␈↓ λX␈ε↓0␈↓ 	Z␈ε↓1
␈βπ∂␈↓ πβ␈ε↓0␈↓ λλ␈ε↓1
␈βπ→␈↓ ↓w␈ε↓0␈↓ εk␈ε↓1␈↓ 	↔␈ε¬(␈↓ 	!␈εl␈↓ 	)␈ε¬)
␈βπ ␈↓ 	ε␈εα∂
␈βπ)␈↓ 	ε␈ελf
␈βπ1␈↓ πF␈ε¬(␈↓ πP␈εl␈↓ πX␈ε¬)
␈βπ9␈↓ π0␈ελu␈↓ π2␈εα∂
␈βπ:␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βπ;␈↓ 	↔␈εN
␈βπD␈↓ 	.␈ε≠␈
␈βπF␈↓ α≤␈ελ⊗␈↓ αi␈ε⊗␈␈εα1␈↓ βU␈εα0␈↓ ∧≥␈εα0
␈βπK␈↓ πF␈εN
␈βπO␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βπS␈↓ α/␈εl␈↓ π\␈ε≠␈
␈βπZ␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βπ\␈↓ 	α␈ε¬(␈↓ 	␈εl␈↓ 	∪␈ε¬)
␈βπd␈↓ λp␈εα∂
␈βπe␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βπg␈↓ π0␈ε¬(␈↓ π:␈εl␈↓ πB␈ε¬)
␈βπm␈↓ λp␈ελf
␈βπo␈↓ π≠␈ελu␈↓ π≥␈εα∂
␈βπp␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βπ{␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βπ|␈↓ α∂␈ε⊗␈␈εα1␈↓ αv␈ελ∃␈↓ βC␈ε⊗␈␈εα1
␈βπ␈␈↓ 	α␈εN␈↓ 	/␈ε¬+␈α␈1
␈βλ↓␈↓ π0␈εN␈↓ π]␈ε¬+1
␈βλ¬␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βλπ␈↓ 	_␈ε≠␈
␈βλ	␈↓ β
␈εl␈↓ πG␈ε≠␈
␈βλ⊂␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βλ≠␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βλ ␈↓ 	 ␈εα.
␈βλ"␈↓ πM␈εα.
␈βλ&␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βλ.␈↓ 	 ␈εα.
␈βλ0␈↓ πM␈εα.␈↓ λ*␈εα=␈↓ 	r␈εα.
␈βλ1␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βλ2␈↓ α␈␈ε⊗↓␈↓ βY␈ε⊗↓␈↓ ∧!␈ε⊗↓
␈βλ;␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βλ=␈↓ 	 ␈εα.
␈βλ>␈↓ πM␈εα.
␈βλF␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βλQ␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βλ\␈↓ ↓w␈ε↓B␈↓ εk␈ε↓C
␈βλb␈↓ 	α␈ε¬(␈↓ 	␈εl␈↓ 	∪␈ε¬)
␈βλg␈↓ πβ␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈βλh␈↓ βY␈ε⊗↓␈↓ ∧!␈ε⊗↓␈↓ ∧S␈ε⊗↓␈↓ ¬↓␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬h␈ελ∃␈↓ ε5␈ε⊗␈␈εα1
␈βλj␈↓ λp␈εα∂
␈βλm␈↓ π0␈ε¬(␈↓ π:␈εl␈↓ πB␈ε¬)
␈βλq␈↓ ↓w␈ε↓@␈↓ εk␈ε↓A
␈βλs␈↓ λp␈ελf
␈βλt␈↓ π≠␈ελu␈↓ π≥␈εα∂
␈βλu␈↓ ¬|␈εl
␈βλ|␈↓ πβ␈ε↓@␈↓ λλ␈ε↓A␈↓ λX␈ε↓B␈↓ 	Z␈ε↓C
␈β	¬␈↓ 	α␈εN␈↓ 	/␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β	ε␈↓ π0␈εN␈↓ π]␈ε→␈␈ε¬1
␈β	
␈↓ 	_␈επ+
␈β	∂␈↓ πG␈επ+
␈β	∩␈↓ λX␈ε↓@␈↓ 	Z␈ε↓A
␈β	≡␈↓ ∧!␈ε⊗↓␈↓ ∧S␈ε⊗↓␈↓ ¬↔␈ε⊗↓␈↓ ¬[␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ε?␈ελ⊗
␈β	#␈↓ πF␈ε¬(␈↓ πP␈εl␈↓ πX␈ε¬)
␈β	)␈↓ 	↔␈ε¬(␈↓ 	!␈εl␈↓ 	)␈ε¬)
␈β	*␈↓ π0␈ελu␈↓ π2␈εα∂
␈β	+␈↓ εR␈ε¬1
␈β	1␈↓ 	ε␈εα∂
␈β	:␈↓ 	ε␈ελf
␈β	<␈↓ πF␈εN
␈β	E␈↓ π\␈επ+
␈β	L␈↓ 	↔␈εN
␈β	T␈↓ 	.␈επ+
␈β	␈␈↓ ↓H␈εαThis␈α
system␈α
can␈αbe␈α
solv␈α␈ed␈α
v␈α␈ery␈αeasily␈α
by␈α
an␈↓ ε⎇␈ελL␈↓ π∃␈ελU␈↓ π2␈εα-decomposition␈αbecause,
␈β
*␈↓ ↓H␈εαas␈αis␈αeasily␈αv␈α␈eri|ed
␈β
=␈↓ ∧7␈ε↓0␈↓ λ[␈ε↓1
␈β
n␈↓ ∧\␈ελ⊗␈↓ ¬.␈εα1
␈β
|␈↓ ∧o␈εl
␈β
⎇␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β∪␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β$␈↓ ∧O␈ε⊗␈␈εα1␈↓ ¬)␈ελ∃␈↓ ¬i␈ε⊗␈␈εα1
␈β)␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β2␈↓ ¬=␈εl
␈β>␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈βT␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈βZ␈↓ ¬2␈ε⊗↓␈↓ ¬␈␈ε⊗↓␈↓ εC␈ε⊗↓
␈βi␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β␈␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β⊂␈↓ ¬␈␈ε⊗↓␈↓ εC␈ε⊗↓␈↓ ππ␈ε⊗↓
␈β∃␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β*␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈β@␈↓ ∧7␈ε↓B␈↓ λ[␈ε↓C
␈βF␈↓ εq␈ε⊗␈␈εα1␈↓ πX␈ελ∃␈↓ λ%␈ε⊗␈␈εα1
␈βT␈↓ πl␈εl
␈βU␈↓ ∧7␈ε↓@␈↓ λ[␈ε↓A
␈β|␈↓ πK␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λ2␈ελ⊗
␈β
␈↓ λE␈εl
␈β
!␈↓ ↓v␈ε↓0␈↓ π ␈ε↓1␈↓ π8␈ε↓0␈↓ @␈ε↓1
␈β
M␈↓ α6␈εα1␈↓ πP␈ελ⊗␈↓ λ∂␈ε⊗␈␈εα1
␈β
[␈↓ πc␈εl
␈β
b␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β
w␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β
}␈↓ αF␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞β␈↓ α∞␈ε⊗␈␈↓ α2␈ελ⊗␈↓ β=␈εα1␈↓ λ≤␈ελ⊗␈↓ λi␈ε⊗␈␈εα1
␈β∞
␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∞⊃␈↓ λ/␈εl
␈β∞∃␈↓ αF␈εl
␈β∞#␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∞4␈↓ βM␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞8␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∞9␈↓ β∃␈ε⊗␈␈↓ β9␈ελ⊗␈↓ ∧≤␈εα1␈↓ λv␈ελ⊗␈↓ 	C␈ε⊗␈␈εα1
␈β∞G␈↓ 		␈εl
␈β∞K␈↓ βM␈εl
␈β∞N␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∞c␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∞m␈↓ ↓H␈εα=␈↓ X␈εα.
␈β∞o␈↓ ∧ ␈ε⊗↓␈↓ ∧R␈ε⊗↓␈↓ 	Y␈ε⊗↓␈↓ 
≥␈ε⊗↓
␈β∞y␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∂∂␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∂$␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∂%␈↓ ∧R␈ε⊗↓␈↓ ¬,␈ε⊗↓␈↓ 
≥␈ε⊗↓␈↓ 
S␈ε⊗↓
␈β∂:␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∂O␈↓ ↓v␈ε↓B␈↓ π ␈ε↓C␈↓ π8␈ε↓B␈↓ @␈ε↓C
␈β∂V␈↓ ¬8␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∂[␈↓ ¬␈ε⊗␈␈↓ ¬$␈ελ⊗␈↓ ε/␈εα1␈↓ 
K␈ελ⊗␈↓ 
␈ε⊗␈␈εα1
␈β∂e␈↓ ↓v␈ε↓@␈↓ π ␈ε↓A␈↓ π8␈ε↓@␈↓ @␈ε↓A
␈β∂i␈↓ 
↑␈εl
␈β∂m␈↓ ¬8␈εl
␈β⊂␈↓ ε?␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂⊃␈↓ επ␈ε⊗␈␈↓ ε+␈ελ⊗␈↓ π∞␈εα1␈↓ _␈ελ≠
␈β⊂∨␈↓ )␈εl
␈β⊂#␈↓ ε?␈εl
␈β∩⎇

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα964
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥Sample␈α
20␈α␈.
␈βαi␈↓ ↓l␈εαIn␈α⊃order␈α∩to␈α∩determine␈α⊃the␈α∩behavior␈α∩of␈α⊃the␈α∩Ben-Israel␈α∩iteration,␈α∪w␈α␈e
␈ββ∀␈↓ ↓H␈εαconsider␈α⊂its␈α⊃application␈α⊂to␈α⊃the␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊂linear␈α⊃least␈α⊂squares␈α⊃problem:
␈ββ?␈↓ ↓H␈εαmin␈↓ α→␈ε⊗k␈↓ α+␈ελA␈↓ αC␈ελx␈↓ α↑␈ε⊗␈␈↓ β
␈ελb␈↓ β→␈ε⊗k␈εα,␈αwhere
␈ββJ␈↓ ¬`␈ε↓0␈↓ ε@␈ε↓1
␈ββM␈↓ α∧␈εx
␈ββv␈↓ ε.␈εα0
␈β∧␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β∧ ␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β∧,␈↓ ¬x␈ελa␈↓ ε.␈εα0
␈β∧6␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β∧K␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β∧`␈↓ ¬⊂␈ελA␈↓ ¬2␈εα=␈↓ εX␈εα,
␈β∧a␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β∧b␈↓ ¬x␈εα0␈↓ ε.␈εα0
␈β∧w␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β¬␈↓ ¬`␈ε↓B␈↓ ε@␈ε↓C
␈β¬_␈↓ ¬x␈εα0
␈β¬"␈↓ ¬`␈ε↓@␈↓ ε@␈ε↓A
␈βε≠␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α
and␈↓ α{␈ελb␈↓ β∪␈εαis␈α	arbitrary.␈αClearly,␈α
the␈α	rank␈α
of␈↓ π∀␈ελA␈↓ π6␈εαis␈α	one␈α
and␈α	the␈α
minim␈α␈um
␈βεB␈↓ ∧⎇␈ε¬+
␈βεG␈↓ ↓H␈εαnorm␈αsolution␈αis␈αgiv␈α␈en␈αby␈↓ ∧e␈ελA␈↓ ¬→␈ελb␈↓ ¬4␈εαwhich␈αis
␈βε{␈↓ ¬a␈ε↓0␈↓ ε∀␈ε↓1
␈βπ(␈↓ ¬y␈ελb
␈βπ5␈↓ εε␈ε¬1
␈βπ7␈↓ ∧⊃␈ε↓ ␈↓ ¬J␈ε↓!␈↓ εd␈ε↓ ␈↓ π;␈ε↓!
␈βπ<␈↓ ¬a␈ε↓B␈↓ ε∀␈ε↓C
␈βπC␈↓ ∧(␈εα1/␈↓ ∧L␈ελa␈↓ ¬α␈εα0␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ε{␈ελb␈↓ π↔␈εα/␈↓ π)␈ελa
␈βπP␈↓ πλ␈ε¬1
␈βπR␈↓ ¬a␈ε↓B␈↓ ε∀␈ε↓C
␈βπ\␈↓ ε6␈εα=␈↓ πX␈εα.
␈βπ↑␈↓ ¬y␈ελb
␈βπg␈↓ ¬a␈ε↓@␈↓ ε∀␈ε↓A
␈βπk␈↓ εε␈ε¬2
␈βπy␈↓ ∧:␈εα0␈↓ ¬α␈εα0␈↓ ¬8␈εα0␈↓ π∩␈εα0
␈βλ∀␈↓ ¬y␈ελb
␈βλ!␈↓ εε␈ε¬3
␈βλq␈↓ ↓H␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α⊂application␈α∂of␈α∂the␈α⊂Ben-Israel␈α∂iteration␈α∂from␈α∂the␈α⊂initial␈α∂guess
␈βλ⎇␈↓ α∨␈ε↓␈␈↓ α;␈ε↓↓
␈β	∀␈↓ α-␈ε¬1
␈β	≤␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓q␈εα=␈↓ αU␈εαyields
␈β	*␈↓ ↓X␈ε¬0
␈β	/␈↓ α-␈ε¬1
␈β	r␈↓ ¬O␈ε↓∩␈↓ ¬w␈ε↓∪␈↓ εA␈ε↓∩␈↓ εi␈ε↓∪␈↓ π3␈ε↓∩␈↓ λλ␈ε↓∪␈↓ λV␈ε↓∩␈↓ 	,␈ε↓∪
␈β	u␈↓ ¬e␈εα1␈↓ εW␈εα1␈↓ πI␈ελb␈↓ πd␈εα/␈↓ πv␈ελa␈↓ λl␈ελb␈↓ 	λ␈εα/␈↓ 	~␈ελa
␈β
α␈↓ πV␈ε¬1␈↓ λy␈ε¬1
␈β
ε␈↓ βi␈ε¬+
␈β
␈↓ α'␈ελx␈↓ αP␈εα=␈↓ α}␈ελx␈↓ β%␈ε⊗␈␈↓ βQ␈ελA␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ ∧∩␈ελA␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ∧Q␈ε⊗␈␈↓ ∧⎇␈ελb␈↓ ¬␈εα)␈α
=␈↓ ε∃␈ε⊗␈␈↓ ππ␈εα+␈↓ λ(␈εα=␈↓ 	B␈εα.
␈β
→␈↓ α7␈ε¬1␈↓ β∞␈ε¬0␈↓ ∧:␈ε¬0
␈β
$␈↓ ¬e␈εα1␈↓ εW␈εα0␈↓ π`␈εα0␈↓ 	β␈εα1
␈β∩⎇/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∩∪ !0123456789:;<=>@ABCRTX\\/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=↓λ∂∩!()*+,-./0123456789:;=>BCEFHILOPSTZ[]abcdefghiklmnopqrstuvwxyz||/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=(),./0=LTabcdefghilmnorstuy||/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=∩()+,/0123;=envv/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()00/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+01233/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=
∞∂∃⊗~≠≡AEGIKLNPQSTUVWXYZabcdfhjkmnrstuvwxx/FONT#10=cmi8[XGP,SYS]=kpstxx/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=
∂GNehijklmnpqstxx/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=npp/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=einstt/FONT#14=cmcsc[fnt,dek]=.012:CPTabefilnortyy/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=,-.3ABFIPSTVabcdefghilmnoprstuvxy⎇⎇/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=3NN/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓λ⊃∩∀∃~≤!29FS\fgjkpp/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=∃≠≤2fgjj/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=β∀!#01FF/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=FF/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.0123456789Saelmpp/FONT#30=cmcsc8[fnt,dek]=Aabcrstt